延迟—多普勒信号表示

传统信号有两种表示方法。一种是时间表示法，即信号作为时间的函数（delta函数的叠加），另一种是频率表示法，即信号作为频率的函数（复指数的叠加）。这两种表示法可以用傅里叶变换来互相变换。
而时间表示和频率表示是互补的。这种互补性的数学表达方式是由海森堡不确定性原理确定的，该原理指出一个信号不能同时在时间和频率上被定位到任何理想的程度。具体来说，如果一个信号在频域上确定的，比如$sint$函数，那它在时域上是无限蔓延的。

这个数学事实隐藏着一个更深的真相。事实证明，存在着这样的信号，它们在时间和频率上都表现得像同时被定位到任何所需的程度，这一特性使它们成为延迟多普勒雷达多目标探测和无线通信的最佳选择（这两个用例被证明是密切相关的）。这些特殊的信号在一种叫做延迟多普勒表示法的表示法中自然与局部脉冲相关。延迟多普勒表示法中的信号是二维域上的特殊类型的函数，称为延迟多普勒平面，其点由两个变量𝜏、𝜐参数化，其中第一个变量称为延迟，第二个变量称为多普勒。
延迟多普勒信道表示在无线通信中特别有意义，它与组成反射器的延迟多普勒雷达图像相吻合。图2显示了一个特定信道的延迟-多普勒表示法的例子，该信道由两个主要的反射器组成，它们有相似的延迟（范围），但在它们的多普勒特性（速度）上有所不同。

准周期函数（quais-periodic functions）

选择一个延迟周期
τ
r
\tau_r
τr​和一个多普勒周期
υ
r
\upsilon_r
υr​，使它们满足
τ
r
υ
r
=
1
\tau_r\upsilon_r=1
τr​υr​=1，这就构造了一个单位面积的盒子。延迟多普勒信号是一个满足以下准周期性条件的函数$\varphi (\tau ,\upsilon )$：

ϕ
(
τ
+
n
τ
r
,
υ
+
m
υ
r
)
=
e
j
2
π
(
n
υ
τ
r
−
m
τ
υ
r
)
ϕ
(
τ
,
υ
)
\phi(\tau+n\tau_r,\upsilon+m\upsilon_r)=e^{j2\pi(n\upsilon\tau_r-m\tau\upsilon_r)}\phi(\tau,\upsilon)
ϕ(τ+nτr​,υ+mυr​)=ej2π(nυτr​−mτυr​)ϕ(τ,υ)

这意味着此函数的周期性是由相位的倍数决定的，换句话说，函数值在每增加一个延迟周期
τ
r
\tau_r
τr​时会获得一个等于
e
j
2
π
υ
τ
r
e^{j2π\upsilonτ_r }
ej2πυτr​的相位系数，对应的，在每增加一个多普勒周期
υ
r
\upsilon_r
υr​时会获得一个等于
e
−
j
2
π
τ
υ
r
e^{-j2π\tau\upsilon_r }
e−j2πτυr​的相位系数。
总而言之，有三种基本方式来表示一个信号。第一种方式是作为时间的函数，第二种方式是作为频率的函数，第三种方式是作为延迟和多普勒的准周期函数。如图4所示，这三种可供选择的表示方法可以通过典范变换进行互换。时间和频率表示法之间的转换是通过傅里叶变换进行的。延迟-多普勒和时间与频率表示法之间的转换分别通过Zak变换
Z
t
Z_t
Zt​和
Z
f
Z_f
Zf​进行。Zak变换是通过周期性的傅里叶积分公式来实现的。

也就是说，到时域的Zak变换是由经过一个多普勒周期的逆傅里叶变换推出的，对应的，到频域的多普勒变换是由经过一个延迟周期的傅里叶变换推出的。我们注意到，对于Zak变换而言，准周期性是这种一对一的在一维轴和二维平面上的相等关系的前提。如果缺少准周期性，在一维轴上的信号会有无穷多个延迟-多普勒表示方法。

信号处理的一般框架

信号处理的总体框架包括三种信号表示方法–(1)时间(2)频率(3)延迟-多普勒，可通过典型变换的方式进行互换。如图5所示，该框架可以被整齐地组织成一个三角形的形式。三角形的节点代表三种表征，边缘代表在它们之间转换的典型转换规则。

特别的是傅里叶变换$FT$可以写
Z
t
Z_t
Zt​和
Z
f
−
1
Z_f^{-1}
Zf−1​乘积的形式：

F
T
=
Z
t
∘
Z
f
−
1
FT=Z_t\circ Z_f^{-1}
FT=Zt​∘Zf−1​
进一步抽象发现延迟多普勒表示法不唯一，取决于我们选的一对满足
τ
r
υ
r
=
1
\tau_r\upsilon_r=1
τr​υr​=1的
（
τ
r
,
υ
r
）
（\tau_r,\upsilon_r）
（τr​,υr​）。这意味着有一个连续的延迟多普勒表示族，对应于双曲线
υ
r
=
1
/
τ
r
\upsilon_r=1/ \tau_r
υr​=1/τr​上的点，如图6所示。

研究当变量
τ
r
→
∞
\tau_r→ ∞
τr​→∞和变量
υ
r
→
∞
\upsilon_r → ∞
υr​→∞时。在第一个极限中，延迟周期的延长是以多普勒周期的收缩为代价的，因此在极限中收敛为一个与时间表示相吻合的一维表示。反之，在第二个极限中，多普勒周期的延长是以延迟周期的收缩为代价的，因此在极限中收敛为一个与频率表示法相一致的一维表示法。因此，时间和频率表示法可以被看作是更一般的延迟-多普勒表示法系列的极限情况。所有的延迟-多普勒表示都可以通过适当定义的扎克变换进行互换，扎克变换满足换位关系，即前面讨论的三角形关系。这意味着沿曲线的任何一对表征之间的转换都与选择哪条多边形路径来连接它们无关。从哲学的角度看，延迟多普勒表示和相关的扎克变换构成了信号处理的基本构件，特别是产生了时间和频率的经典概念以及相关的傅里叶变换规则。

OTFS调制方案

经典的通信理论围绕着两个基本的调制方案，它们与时间和频率信号的表示法自然相关。第一种方案是将QAM符号在时间表示的局部脉冲上复用，它被称为TDM（时分复用）。第二种方案将QAM符号在频率表示中的局部脉冲上复用（并使用傅里叶变换进行传输），它被称为FDM（频分复用）。它们在延迟多普勒域是无法被定位的，或者说只能在一个维度上被定位。
在延迟-多普勒表示法中，有一种基于对称定位信号的优越调制，如图7所示。这种新的调制方案被称为OTFS，它代表了正交时间频率和空间。OTFS调制方案是无限的，因为我们可惜选择满足
υ
r
=
1
/
τ
r
\upsilon_r=1/ \tau_r
υr​=1/τr​不同的参数（如图6所示）。经典的时间和频率调制方案，TDM和FDM，在延迟和多普勒周期分别接近无穷大时，作为OTFS族的极限情况出现。OTFS系列的调制方案在时分复用和频分复用之间平滑地插值。

OTFS的载波波形

我们首先延迟-多普勒平面上选择一个由以下参数指定的二维网格：

Δ
τ
=
τ
r
N
Δ\tau=\frac{\tau_r}{N}
Δτ=Nτr​​

Δ
υ
=
υ
r
M
Δ\upsilon=\frac{\upsilon_r}{M}
Δυ=Mυr​​
这样的网格由沿着时延轴的N点(间距为$\Delta \tau$)和沿着多普勒轴的M点（间距为$\Delta \upsilon$）组成，从而在基本矩形域内总共有𝑁𝑀网格点。接下来我们设定一个局部脉冲
w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m​(τ,υ)，其在$(n\Delta \tau ,m\Delta \upsilon )$，我们注意到，脉冲只在基本域的边界内（由延迟-多普勒周期包围）定位，并在整个延迟-多普勒平面上准周期地重复，如图 8 所示（$n=3,m=2$）。同时我们假设
w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m​(τ,υ)是两个一维脉冲的产物：

w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
=
w
τ
(
τ
−
n
τ
)
w
υ
(
υ
−
m
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)=w_\tau(\tau-n\tau)w_\upsilon(\upsilon-m\upsilon)
wn,m​(τ,υ)=wτ​(τ−nτ)wυ​(υ−mυ)
其中第一个因素是沿延迟（时间）定位，第二个因素是沿多普勒（频率）定位。在某种意义上，延迟-多普勒二维脉冲是一维TDMA和OFDM脉冲的拼接。为了描述
w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m​(τ,υ)在时间表示中的结构，我们需要计算Zak变换：

Z
t
(
w
n
,
m
)
Z_t(w_{n,m})
Zt​(wn,m​)

产生的波形是一个在时间上和频率上都有移位的脉冲序列，时间上的移位等于$n\Delta \tau$，频率上的移位等于$m\Delta \upsilon$。在局部，每个脉冲的形状和延迟脉冲
w
τ
w_\tau
wτ​有关，整体上，总的序列形状和多普勒脉冲
w
v
w_v
wv​的傅里叶变换有关。沿着延迟移动网格点会导致序列中的每个脉冲沿时间移动相同的位移，类似于TDM。反过来说，沿多普勒移动网格点会使整个序列的频率发生同样的位移，类似于OFDM。换句话说，OTFS载波的局部结构类似于TDM的结构，而全局结构类似于FDM的结构。

延迟-多普勒信道符号耦合

无线信道是由简单的物理学所支配的。它是由一组镜面反射器组成的，其中一些是静态的，一些是移动的。传输的波形在介质中传播并在每个反射器上反弹。到达接收器的信号是直接信号和反射回波的叠加。每个反射回波到达接收器的时间都有延迟（多径效应），而且由于反射器和发射器/接收器之间的相对速度，可能还会有频率上的偏移（多普勒效应）。信道物理学通过延迟-多普勒脉冲响应进行数学建模，其中每个抽头代表具有特定延迟和多普勒特性的反射器群，如图4所示。我们的目标是描述无线信道和OTFS载波波形之间的信道符号耦合（简称CSC），该信道符号由延迟-多普勒表示法中的局部脉冲给出。我们首先讨论TDM和FDM脉冲的信道符号耦合。

• TDM信道符号耦合
  用时间表示一个TDM脉冲，在接收器处产生了回波的配置，这些回波在特定的时间位移处出现，对应于各种反射器所施加的多径延迟。每个回波的相位和振幅取决于发射脉冲的初始位置，并可能在不同的相干时间间隔中发生显著变化–这一现象被称为时间选择性。有两个机制参与其中。回波的相位由于多普勒效应而变化，回波的振幅由于共享相同延迟但多普勒不同的众多反射体的破坏性叠加而变化，而TDM脉冲无法沿着多普勒区分不同的反射体。
  在图9中，从左到右计算TDM回波，我们看到第一个和第三个回波是由于静态的反射器，因此是时间不变的，第四个回波是由于移动的反射器，因此是时间变化的，第二个回波是由于两个反射器的叠加，其中一个是移动的，因此是衰减的。
• FDM信道符号耦合
  反过来说，在频率表示上发射一个局部的FDM脉冲，在接收机上会产生特定频率位移的回波配置，这与各种反射器引起的多普勒频移相对应。每个回波的相位和振幅取决于发射脉冲的初始位置，并可能在不同的相干频率区间中发生显著变化–这种现象被称为频率选择性。回波的相位由于多径效应而变化，回波的振幅由于共享相同多普勒的众多反射体的破坏性叠加而变化，但也许在延迟上有所不同，这是因为FDM脉冲无法沿延迟分离反射体。例如，在图9中，从下往上数收到的FDM回波，我们看到第一个和第三个回波是频率变化的，第二个回波是由于三个静态反射器的叠加，因此是衰减的。
• DD信道符号耦合
  
  在延迟-多普勒表示法中传输一个局部的OTFS脉冲，在接收机处产生一个回波的配置，这些回波出现在特定的延迟-多普勒位移处，这与各种反射器引起的延迟和多普勒位移相对应，如图10所示。与前两种情况相比，现在有以下特性:
  CSC不变性：延迟多普勒回波的相位和振幅与原始脉冲在基域内的位置无关，因为延迟和多普勒周期分别小于通道的相干时间和带宽。
  CSC可分离性：所有的反射都是沿着它们的延迟和多普勒特性相互分离的，因此它们的影响不会破坏性地叠加，在QAM符号层面上没有能量损失。
  CSC正交性：接收到的回波被限制在发射脉冲周围的一个小的矩形框内，其尺寸等于信道的延迟和多普勒扩散，这比外部延迟和多普勒周期小得多。因此，当两个发射脉冲在发射器上被几何地分开时，它们在接收器上将保持正交。
  另一种表达OTFS信道-符号耦合的方式是延迟多普勒脉冲响应和QAM符号之间的二维卷积。这可以在图11中看到，它显示了许多delta函数（代表QAM符号）与信道的延迟多普勒脉冲响应进行卷积。
  

OTFS的多载波解释

OTFS可以被看作是一个由定义在互换时频网格上的二维基函数（或编码）集合组成的时频传播方案。另一个结果是，OTFS可以被架构为任意多载波调制（如OFDM）上的一个简单预处理步骤。新的定义是基于延迟-多普勒平面上的网格和时间-频率平面上的对等网格之间的傅立叶对偶关系。
延迟多普勒网格由沿着时延轴的N点(间距为
Δ
τ
=
τ
r
/
N
Δ\tau=\tau_r/N
Δτ=τr​/N)和沿着多普勒轴的M点（间距为$\Delta \upsilon =\upsilon /M$）组成，互换的时频网格由沿着频率轴的N点（间距为
Δ
f
=
1
/
τ
r
Δf=1/\tau_r
Δf=1/τr​）和沿着时间轴的M点（间距为
Δ
t
=
1
/
υ
r
Δt=1/\upsilon_r
Δt=1/υr​）。这两个网格在图12中显示。参数$\Delta t$是多载波符号持续时间，参数$\Delta f$是子载波间距。时频网格可以解释为一连串的𝑀多载波符号，每个符号由𝑁音或子载波组成。我们注意到，传输的带宽$B=N\Delta f$与延迟分辨率$\Delta \tau$成反比，传输的持续时间$T=M\Delta t$与多普勒分辨率$\Delta \upsilon$成反比。

两个网格之间的傅里叶关系是通过二维有限傅里叶变换的一个变体实现的，称为有限辛傅里叶变换（简称SFFT）。SFFT将一个𝑁×𝑀延迟-多普勒矩阵$(n\Delta \tau ,m\Delta \upsilon )$发送到一个倒数的𝑀×𝑁时间频率
X
(
m
′
Δ
t
，
n
′
Δ
f
)
X(m^{'}Δt，n^{'}Δf)
X(m′Δt，n′Δf) 通过以下求和公式实现:

X
(
m
′
Δ
t
，
n
′
Δ
f
)
=
∑
n
=
N
−
1
∑
m
=
M
−
1
e
j
2
π
(
m
′
m
M
−
n
′
n
N
)
x
(
n
Δ
τ
,
m
Δ
υ
)
X(m^{'}Δt，n^{'}Δf)=\sum_{n = 0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}e^{j2\pi(\frac{m^{'}m}{M}-\frac{n^{'}n}{N})}x(nΔ\tau,mΔ\upsilon)
X(m′Δt，n′Δf)=n=0∑N−1​m=0∑M−1​ej2π(Mm′m​−Nn′n​)x(nΔτ,mΔυ)
其中 "辛 "一词指的是具体的耦合形式
m
′
m
M
−
n
′
n
N
\frac{m^{'}m}{M}-\frac{n^{'}n}{N}
Mm′m​−Nn′n​在指数内。我们可以很容易地验证，SFFT变换相当于沿着矩阵$x(n,m)$的列做𝑁维FFT，沿着其行做𝑀维IFFT，再结合。
OTFS的多载波解释是说，𝑁×𝑀延迟-多普勒矩阵的Zak变换可以交替计算，首先用SFFT将矩阵变换到时频网格，然后通过传统的多载波发射器，即列的IFFT变换，将得到的倒数矩阵作为大小为𝑀的多载波符号序列转换到时域。因此，使用SFFT变换，OTFS收发器可以作为一个预处理和后处理步骤叠加在多载波收发器上。图13描述了OTFS的多载波收发器，以及时频域中的双重选择性乘法CSC和相应的不变的卷积延迟-多普勒CSC的可视化表示。

多载波解释将OTFS描述为一种时频传播技术，其中每个延迟多普勒QAM符号$x(n\Delta \tau ,m\Delta \upsilon )$通过一个二维传播 "代码 "或时频网格上的序列进行传播，由以下辛指数函数给出：

ψ
n
,
m
(
m
′
Δ
t
,
n
′
Δ
f
)
=
e
j
2
π
(
m
m
′
M
−
n
n
′
N
)
\psi_{n,m}(m^{'}Δt,n^{'}Δf)=e^{j2\pi(\frac{mm^{'}}{M}-\frac{nn^{'}}{N})}
ψn,m​(m′Δt,n′Δf)=ej2π(Mmm′​−Nnn′​)
其中该函数沿时间方向的斜率由多普勒坐标$m\Delta \upsilon$给出，沿频率方向的斜率由延迟坐标$n\Delta \tau$给出（见图14的例子）。因此，可以看到与二维CDMA的类比，其中的码字是二维复指数，相互正交的。
（m=0时，频域的斜率为0，n=0时，时域的斜率等于0）

延迟多普勒均衡和预编码

本节将讨论QAM符号在延迟多普勒域复用时的均衡和预编码原理，如OTFS的情况，并与QAM符号在时频域复用时的情况进行比较，如多载波调制的情况。我们专注于多用户MIMO（简称MU-MIMO）的情况，即一组用户在同一带宽上与配备多根天线的基站同时通信。

均衡

在上行链路方向，来自不同用户的数据流到达基站时是相互叠加的，基站必须通过均衡手段将它们分开。我们假设
L
u
L_u
Lu​个用户，每个用户配备一个天线，向配备
L
b
L_b
Lb​个天线的基站发射。在多载波设置中，用户在时频网格的一个区域内复用其QAM符号。在这些假设下，上行链路信道被解耦为在时频网格点上的简单MIMO信道的平行（正交）系统，这样，对于每个网格$(m\Delta t,n\Delta f)$都有一个形式的局部信道方程:

Y
m
,
n
=
U
m
,
n
⋅
X
m
,
n
+
W
m
,
n
Y_{m,n}=U_{m,n}\cdot X_{m,n}+W_{m,n}
Ym,n​=Um,n​⋅Xm,n​+Wm,n​
其中
X
m
,
n
X_{m,n}
Xm,n​是不同用户发送的的
L
u
L_u
Lu​ QAM符号的向量，
U
m
,
n
U_{m,n}
Um,n​是一个
L
b
×
L
u
L_b\times L_u
Lb​×Lu​维矩阵代表用户和基站天线之间的本地耦合度。为了检索用户的信息，基站必须检测构成向量
X
m
,
n
X_{m,n}
Xm,n​的QAM符号。为了最大限度地提高吞吐量，QAM符号必须使用最大似然球体检测器联合检测。球体检测器是一种迭代算法，其收敛率关键取决于本地信道的自动相关矩阵的条件数（最大和最小特征值之间的比率）：

R
m
,
n
=
U
m
，
n
∗
U
m
,
n
R_{m,n}=U^{*}_{m，n}U_{m,n}
Rm,n​=Um，n∗​Um,n​
其中，其中上标*表示Hermitean转置。当条件数较高时，该算法表现出临界减速，导致复杂度在MIMO顺序中呈指数级增长，即用户数。在存在信道时频选择性的情况下，相当一部分自相关矩阵可能表现出高条件数，由此产生的复杂度费用成为系统随用户数扩展的一个巨大障碍。
有两种方法来管理接收器的性能–复杂性的权衡。第一种方法是通过限制迭代次数来降低检测器的复杂性，其代价是影响性能。第二种方法是通过使用晶格缩小技术加速球体检测器的收敛率来保持性能，代价是由于需要为每个相干时间和频率间隔重新计算缩小的晶格基础而提高复杂性。换句话说，信道的时频选择性引入了一个重新计算的因素，导致了大量的复杂性收费。我们注意到，现代商业MIMO系统通常采用第一种方法。在实践中，由于复杂度很高，全球体检测器从来没有在四个空间流的情况下使用过，而大多数的实现方式都是使用具有有限迭代次数的低复杂度变体。
通过在信道-符号耦合不变、可分离和正交的延迟多普勒网格上复用QAM符号（通过与延迟多普勒脉冲响应卷积给出），可以显著改善接收机的性能-复杂度折衷。为了便于解释，我们假设一些简化的近似值。我们假设延迟多普勒上行链路信道在延迟多普勒网格的各点上解耦为一个相同的MIMO信道并行系统，这样对于每个网格点$(n\Delta \tau ,m\Delta \upsilon )$都对应着一个本地信道方程的形式：

y
n
,
m
=
u
⋅
x
n
,
m
+
w
n
,
m
y_{n,m}=u\cdot x_{n,m}+w_{n,m}
yn,m​=u⋅xn,m​+wn,m​
其中
x
n
,
m
x_{n,m}
xn,m​是不同用户传输的QAM符号向量，𝒖是一个
L
b
×
L
u
L_b\times L_u
Lb​×Lu​矩阵，代表用户与基站天线之间的全局耦合。我们进一步假设自相关矩阵𝒓=𝒖∗𝒖等于所有局部时频自相关矩阵的算术平均值，即:

r
=
1
N
M
∑
n
,
m
R
m
,
n
r=\frac{1}{NM}\sum_{n,m}R_{m,n}
r=NM1​n,m∑​Rm,n​
因为时频信道矩阵
U
m
,
n
U_m,n
Um​,n大致是相互独立的，延迟多普勒矩阵𝒓的条件数由于平均化的原因比
R
m
,
n
R_{m,n}
Rm,n​较低，意味着球体检测器的收敛速度较快，从而使延迟多普勒网格上的检测问题成为一项更容易的计算任务。此外，晶格缩小技术可以有效地用于进一步加快收敛率，因为由于不变性，每帧$NM$QAM符号只需要计算一次缩小的基础。

图15，显示了在每个OFDM时频格点计算的时频自相关矩阵
R
m
,
n
R_{m,n}
Rm,n​的条件数，并绘制成虚线直方图。此外，延迟-多普勒条件数是针对持续时间为1ms的条带计算的，并绘制成实体直方图。直方图清楚地表明，平均延迟-多普勒条件数明显低于（更好）平均时频条件数，这意味着OTFS的空间复用比多载波调制要好。此外，延迟-多普勒条件数的变化也相当小，这意味着性能的一致性有所提高。

时延多普勒预编码

在下行方向上，每个用户的接收流与其他用户的流所引起的干扰叠加。由于用户的天线孔径具有有限的角度分离能力，来自不想要的数据流的干扰必须在基站通过预平衡（又称预编码）来拒绝。在多载波设置中，基站在时间频率网格的一个区域内复用一个
L
u
L_u
Lu​QAM符号的矢量，矢量的每个坐标都保留给不同的用户。在这些假设下，下行链路信道在时频网格上解耦为一个简单的MIMO信道并行系统，这样，对于每一个网格点$(m\Delta t,n\Delta f)$，都对应着一个本地信道方程的形式：

Y
m
,
n
=
D
m
,
n
⋅
X
m
,
n
+
W
m
,
n
Y_{m,n}=D_{m,n}\cdot X_{m,n}+W_{m,n}
Ym,n​=Dm,n​⋅Xm,n​+Wm,n​
其中
X
m
,
n
X_{m,n}
Xm,n​是QAM符号的传输向量，
D
m
,
n
D_{m,n}
Dm,n​是
L
u
×
L
b
L_u\times L_b
Lu​×Lb​矩阵，说明基站的
L
b
L_b
Lb​天线元素和
L
u
L_u
Lu​个用户天线之间的局部耦合。每个用户都会收到自己的信号，并被指向其他用户的信号所引起的干扰所破坏。拒绝干扰的标准方法被称为信道反转或零强迫预编码简称ZFP。在这种方法中，基站反转信道矩阵
D
m
,
n
D_{m,n}
Dm,n​并传输预编码的矢量：

Z
m
,
n
=
N
M
∑
n
,
m
∥
D
m
,
n
−
1
⋅
X
m
,
n
∥
2
D
m
,
n
−
1
⋅
X
m
,
n
Z_{m,n}=\sqrt{\frac{NM}{\sum_{n,m}\lVert D_{m,n}^{-1}\cdot X_{m,n}\rVert^2}}D_{m,n}^{-1}\cdot X_{m,n}
Zm,n​=∑n,m​∥Dm,n−1​⋅Xm,n​∥2NM​​Dm,n−1​⋅Xm,n​
归一化常数确保总传输能量被归一化为𝑁𝑀。因此，每个用户收到他的预均衡QAM符号被白噪声破坏，接收信噪比等于:

S
N
R
=
N
M
N
∑
n
,
m
∥
D
m
,
n
−
1
⋅
X
m
,
n
∥
2
SNR=\frac{NM}{N_0\sum_{n,m}\lVert D_{m,n}^{-1}\cdot X_{m,n}\rVert^2}
SNR=N0​∑n,m​∥Dm,n−1​⋅Xm,n​∥2NM​
后面再补充（看不懂了）

OTFS 相比于OFDM的优点

关键的5G用例

• 增强型移动宽带（eMBB）
  这个用例围绕着多用户MIMO通信，在基站结合大量的天线，作为为大量用户提供服务和最大的频谱再利用的推动力。
• 高流动性通信
  该用例围绕着在移动接收者之间建立可靠和一致的通信链路的需求，例如在车对车通信（V2V或V2X）和高速列车的情况下。
• 物联网
  这个用例围绕着在基站和非常多的小型设备之间建立通信联系的需要，这些设备在严格的电力限制下运行。
• 与超可靠低延时通信包（URLLC）共存。
  该用例围绕着支持高优先级、低延迟的通信数据包的传输模式的需要，这些数据包以叠加的方式在常规数据包上传输，从而引入了大量的窄带干扰。
• 毫米波通信
  这个用例围绕着对新的可用频谱的高需求所驱动的毫米波长制度的通信。由于电磁波的不良传播特性和这些频率的高相位噪声，在这些频段实现可靠的通信链路是一个挑战。

增强的移动宽带

均衡结果

在图16和图17中，我们比较了OTFS和OFDM的频谱效率。在每个信噪比点，选择达到3GPP运行BLER 10%的最大调制和编码方案（MCS）。图16显示了大数据包（50个PRB）和从1到4的MIMO顺序（即SISO、2x2和4x4）的频谱效率比较。OFDM的结果是使用最大似然检测得到的。最大似然接收机虽然对OFDM来说是最佳的，但其复杂度随着MIMO阶数的增加而呈指数级增长，因此，对于高阶MIMO来说，接收机通常用降低复杂度的算法来实现，但在性能上有损失。作为OFDM性能的下限，我们展示了一个更简单的MMSE接收器的结果（通常用于比较3GPP中OFDM系统的性能）。OTFS和OFDM之间的差距是显而易见的，对于高阶MIMO尤其明显。例如，对于4x4 MIMO，在19dB左右的信噪比下，性能差距从36%到53%不等，取决于OFDM接收器的类型。由于30公里/小时的多普勒相对较低，而且数据包大小较大，因此收益不是来自于OTFS的传播效应所带来的额外分集。相反，它是由于第3.1节中提出的条件数论证。进一步的增益见于图17。这是由较小的数据包大小引起的。在OTFS中，性能与数据包大小无关，因为所有符号都经历了信道的全部多样性。相比之下，一个小的OFDM包更有可能被 "卡 "在时间和/或频率选择性衰减区域，依靠FEC码来恢复。

预编码结果

为了评估延迟多普勒比时频零强迫汤姆林森-原岛预编码（ZF THP）的性能增益，我们对一个半径为1公里的无线小区进行了简单的模拟，该小区包含几千个随机分布的用户，每个用户都配备了一根天线，基站由8个天线元件组成的线性阵列。我们在每个用户周围分布一圈静态反射器，相当于2微秒的延迟传播和无多普勒。在每一次迭代中，我们随机选择8个用户的一个子集，并计算每个用户的时频和延迟-多普勒ZF THP接收信噪比。该实验以不同的用户和反射器配置重复了几千次。接收信噪比值的累积分布函数如图18所示。仿真使用了以下参数：


图18中的垂直线显示，大约99%的OTFS用户与大约50%的OFDM用户相比，享有大于12dB的SNR。换句话说，99%的OTFS用户体验到前50%的OFDM用户的性能。水平线表示，与90%的OFDM用户相比，90%的OTFS用户有超过10dB的信噪比增益。

后面补充