滑模控制理论(SMC)

滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)

滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

系统建模

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程

x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
u
\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber \\ \dot x_2 &= u \nonumber \\ \end{align}
x˙1​x˙2​​=x2​=u​​
我们的控制目标很明确，就是希望
x
1
=
,
x
2
=
x_1 = 0,x_2=0
x1​=0,x2​=0

设计滑模面

s
=
c
x
1
+
x
2
s=cx_1+x_2
s=cx1​+x2​

这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是
x
1
=
,
x
2
=
x_1 = 0,x_2=0
x1​=0,x2​=0，那如果$s=0$呢

{
c
x
1
+
x
2
=
x
˙
1
=
x
2
⇒
c
x
1
+
x
˙
1
=
⇒
{
x
1
=
x
1
(
)
e
−
c
t
x
2
=
−
c
x
1
(
)
e
−
c
t
\begin{equation} \begin{cases} cx_1 + x_2 = 0 \\ \dot x_1 = x_2 \\ \end{cases} \Rightarrow cx_1+\dot x_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_1(0)e^{-ct} \\ x_2 = -cx_1(0)e^{-ct} \\ \end{cases} \nonumber \end{equation}
{cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​⇒cx1​+x˙1​=0⇒{x1​=x1​(0)e−ctx2​=−cx1​(0)e−ct​​
可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。$c$ 越大，速度也就越快。所以如果满足
s
=
c
x
1
+
c
2
=
s=cx_1+c_2=0
s=cx1​+c2​=0,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（$s=0$称之为滑模面)

设计趋近律

上面说，如果 $s=0$ 状态变量最终会趋于0，可以如何保证 $s=0$ 呢，这就是控制率 $u$ 需要保证的内容了

s
˙
=
c
x
˙
1
+
x
˙
2
=
c
x
2
+
u
\dot s = c \dot x_1 + \dot x_2 = cx_2+u
s˙=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u
趋近律就是指
s
˙
\dot s
s˙ ，趋近律的一般有以下几种设计

{
s
˙
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
,
ε
>
s
˙
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
−
k
s
,
ε
>
,
k
>
s
˙
=
−
k
∣
s
∣
α
s
g
n
(
s
)
,
<
α
<
1
\begin {cases} \dot s = - \varepsilon sgn(s), \varepsilon > 0 \\ \dot s = - \varepsilon sgn(s)-ks, \varepsilon > 0 , k>0\\ \dot s = - k|s|^{\alpha}sgn(s), 0 < \alpha < 1 \end{cases}
⎩⎨⎧​s˙=−εsgn(s),ε>0s˙=−εsgn(s)−ks,ε>0,k>0s˙=−k∣s∣αsgn(s),0<α<1​

s
g
n
(
s
)
=
{
1
,
s
>
−
1
,
s
<
sgn(s) = \begin{cases} 1,s>0 \\ -1,s<0 \\ \end{cases}
sgn(s)={1,s>0−1,s<0​

根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量 $u$ 了(选取第一种控制率)。

u
=
−
c
x
2
−
ε
s
g
n
(
s
)
u = -cx_2-\varepsilon sgn(s)
u=−cx2​−εsgn(s)
我们对系统施加控制量 $u$ 即可保证系统最终稳定在原点。

证明有效性

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程
s
˙
=
c
x
2
+
u
\dot s = cx_2+u
s˙=cx2​+u ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是 $s$ ,对于 $s$ 如果存在一个连续函数 $V$ 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点 $s=0$ 处稳定，即
lim
⁡
t
→
∞
V
=
{\lim\limits_{t \to \infty}V = 0}
t→∞lim​V=0

lim
⁡
∣
s
∣
→
∞
V
=
∞
{\lim\limits_{|s| \to \infty}V = \infty}
∣s∣→∞lim​V=∞

V
˙
<
 
f
o
r
 
s
≠
\dot V < 0 \ for \ s \ne 0
V˙<0 for s=0

我们证明的方法就是令
V
=
1
2
s
2
V= \frac {1} {2} s ^ 2
V=21​s2 ，很明显我们满足第一个条件，我们对 $V$ 进行求导，

V
˙
=
s
s
˙
=
−
s
ε
s
g
n
(
s
)
=
−
ε
∣
s
∣
<
\dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s| < 0
V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<0
也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。

无限时间问题

上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件

V
˙
≤
−
α
V
1
2
\dot V \le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}}
V˙≤−αV21​
对于改进后的这个条件可以分离变量再积分

d
V
d
t
≤
−
α
V
1
2
V
−
1
2
d
V
≤
−
α
d
t
∫
t
V
−
1
2
d
V
≤
∫
t
−
α
d
t
V
1
2
(
t
)
−
V
1
2
(
)
≤
−
1
2
α
t
V
1
2
(
t
)
≤
−
1
2
α
t
+
V
1
2
(
)
\begin {align} \frac {\text d V} {\text d t} &\le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le - \alpha \text d t \nonumber\\ \int^{t}_{0} V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le \int^{t}_{0} - \alpha \text d t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) - V ^ {\frac {1} {2}} (0) &\le - \frac {1} {2} \alpha t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) &\le - \frac {1} {2} \alpha t + V ^ {\frac {1} {2}} (0) \nonumber \\ \end {align}
dtdV​V−21​dV∫0t​V−21​dVV21​(t)−V21​(0)V21​(t)​≤−αV21​≤−αdt≤∫0t​−αdt≤−21​αt≤−21​αt+V21​(0)​​
根据上面的等式可以看出，$V$ 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为

t
r
≤
2
V
1
2
(
)
α
t_r \le \frac {2V^ \frac {1} {2} (0)} {\alpha}
tr​≤α2V21​(0)​
因为李雅普诺夫条件的改变，控制器 $u$ 也需要作出相应改变

{
V
˙
=
s
s
˙
=
−
s
ε
s
g
n
(
s
)
=
−
ε
∣
s
∣
V
=
1
2
s
2
V
˙
≤
−
α
V
1
2
⇒
V
˙
=
−
ε
∣
s
∣
≤
−
α
s
2
⇒
ε
≥
α
2
\begin{cases} \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s|\\ V = \frac {1} {2} s ^ 2 \\ \dot V \le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \end{cases} \Rightarrow \dot V = - \varepsilon|s| \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \Rightarrow \varepsilon \ge \frac {\alpha} {\sqrt{2}}
⎩⎨⎧​V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=21​s2V˙≤−αV21​​⇒V˙=−ε∣s∣≤−α2​s​⇒ε≥2​α​
也就是给之前随意指定的 $\epsilon$ 增加了一个控制条件

干扰问题

上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程

x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
u
+
d
\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= u + d \nonumber\\ \end{align}
x˙1​x˙2​​=x2​=u+d​​
这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下

s
=
c
x
1
+
x
2
s = cx_1+x_2
s=cx1​+x2​
我们的趋近律设计也不变

s
˙
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
\dot s = - \varepsilon sgn(s)
s˙=−εsgn(s)
我们的控制量 $u$ 也不变

u
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
−
c
x
2
u = - \varepsilon sgn(s) - cx_2
u=−εsgn(s)−cx2​

s
˙
=
c
x
˙
1
+
x
˙
2
=
c
x
2
+
u
+
d
\begin{align} \dot s &= c \dot x_1 + \dot x_2 \nonumber\\ &=cx_2 + u + d \nonumber\\ \end{align}
s˙​=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u+d​​

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数

V
=
1
2
s
2
V
˙
=
s
s
˙
=
s
(
c
x
2
+
u
+
d
)
=
s
(
−
ε
s
g
n
(
s
)
+
d
)
≤
−
ε
∣
s
∣
+
s
d
≤
−
ε
∣
s
∣
+
s
L
≤
∣
s
∣
(
ε
−
L
)
\begin{align} V &= \frac {1} {2} s ^ 2 \nonumber\\ \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (cx_2 + u + d) \nonumber\\ &= s (- \varepsilon sgn(s) + d) \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sd \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sL \nonumber\\ & \le |s|(\varepsilon - L) \nonumber\\ \end{align}
VV˙​=21​s2=ss˙=s(cx2​+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)​​
其中 $L$ 为干扰 $d$ 的上界

V
˙
≤
−
α
V
1
2
−
ε
∣
s
∣
+
s
L
≤
−
α
s
2
−
ε
∣
s
∣
≤
−
α
s
2
−
s
L
ε
∣
s
∣
≥
α
s
2
+
s
L
ε
≥
s
g
n
(
s
)
(
α
2
+
L
)
ε
≥
(
α
2
+
L
)
\begin{align} \dot V &\le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| + sL & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} - sL \nonumber\\ \varepsilon|s| & \ge \alpha \frac{s}{\sqrt {2}} + sL \nonumber\\ \varepsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \varepsilon & \ge (\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \end{align}
V˙−ε∣s∣+sL−ε∣s∣ε∣s∣εε​≤−αV21​≤−α2​s​≤−α2​s​−sL≥α2​s​+sL≥sgn(s)(2​α​+L)≥(2​α​+L)​​
所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统滑膜设计方法示例

三阶系统的模型如下

x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
x
3
x
˙
3
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
u
\begin {align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= x_3 \nonumber\\ \dot x_3 &= f(x) + g(x)u \nonumber\\ \end {align}
x˙1​x˙2​x˙3​​=x2​=x3​=f(x)+g(x)u​​
假设，我们期望的
x
1
x_1
x1​ 的目标是
x
1
d
x_{1d}
x1d​ ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了

e
1
=
x
1
−
x
1
d
e
2
=
e
˙
1
=
x
˙
1
−
x
˙
1
d
=
x
2
−
x
˙
1
d
e
3
=
e
˙
2
=
x
¨
1
−
x
¨
1
d
=
x
3
−
x
¨
1
d
\begin{align} e_1 &= x_1 - x_{1d} \nonumber\\ e_2 &= \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_{1d} = x_2 - \dot x_{1d} \nonumber\\ e_3 &= \dot e_2 = \ddot x_1 - \ddot x_{1d} = x_3 - \ddot x_{1d} \nonumber\\ \end{align}
e1​e2​e3​​=x1​−x1d​=e˙1​=x˙1​−x˙1d​=x2​−x˙1d​=e˙2​=x¨1​−x¨1d​=x3​−x¨1d​​​
设计滑模面

s
=
c
1
e
1
+
c
2
e
2
+
e
3
s = c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3
s=c1​e1​+c2​e2​+e3​
设计李雅普诺夫函数

V
=
1
2
s
2
V = \frac{1}{2} s ^ 2
V=21​s2
对李雅普诺夫函数进行求导

V
˙
=
s
s
˙
=
s
(
c
1
e
˙
1
+
c
2
e
˙
2
+
e
˙
3
)
=
s
(
c
1
e
2
+
c
2
e
3
+
x
3
−
x
¨
1
d
(
3
)
)
=
s
(
c
1
e
2
+
c
2
e
3
+
x
3
−
f
(
x
)
+
g
(
x
)
u
−
x
1
d
(
3
)
)
=
s
(
Γ
−
f
(
x
)
+
g
(
x
)
u
−
x
1
d
(
3
)
)
=
s
g
(
x
)
(
Γ
−
f
(
x
)
−
x
1
d
(
3
)
g
(
x
)
+
u
)
\begin{align} \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (c_1 \dot e_1 + c_2 \dot e_2 + \dot e_3) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - \ddot x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (\Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= sg(x)(\frac {\Gamma - f(x) - x^{(3)}_{1d}} {g(x)} + u) \nonumber\\ \end{align}
V˙​=ss˙=s(c1​e˙1​+c2​e˙2​+e˙3​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−x¨1d(3)​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=sg(x)(g(x)Γ−f(x)−x1d(3)​​+u)​​
这里我们设计趋近律

s
˙
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
=
Γ
−
f
(
x
)
+
g
(
x
)
u
−
x
1
d
(
3
)
\dot s = - \varepsilon sgn(s) = \Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}
s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​
得到控制量 $u$

u
=
−
ε
s
g
n
(
s
)
−
Γ
+
f
(
x
)
+
x
1
d
(
3
)
g
(
x
)
u = \frac {-\varepsilon sgn(s) - \Gamma + f(x) + x^{(3)}_{1d}} {g(x)}
u=g(x)−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)​​
带入李雅普诺夫函数可得

V
˙
=
−
s
ε
s
g
n
(
s
)
=
−
ε
∣
s
∣
≤
\dot V = -s \varepsilon sgn(s) = -\varepsilon |s| \le 0
V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤0
这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制 $\epsilon$ 即可