去噪扩散概率模型（DDPM）的简单理解

图1 DDPM 无条件控制生成的图像。 这些不是真实的人、地方、动物或物体。

前言

扩散模型最近在图像生成领域取得了巨大的成功，类似 OpenAI 的 DALL-E 2，Google 的 Imagen，以及 Stability AI 最近发行的能够达到商业级绘画目的的 Stable Diffusion 等，都是基于扩散模型来进行图像生成的。本文对知乎上各位大佬对于扩散模型（特别是 DDPM）的讲解进行了融合，带领大家深入浅出理解扩散和逆扩散过程。

数学基础

1. 先验概率和后验概率

• 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。它往往作为由因求果问题中的因出现，如
  q
  (
  X
  t
  ∣
  X
  t
  −
  1
  )
  q(X_{t}|X_{t-1})
  q(Xt​∣Xt−1​)

• 后验概率：是指在得到结果的信息后重新修正的概率。是执果寻因问题中的因，如
  p
  (
  X
  t
  −
  1
  ∣
  X
  t
  )
  p(X_{t-1}|X_{t})
  p(Xt−1​∣Xt​)

2. KL 散度

对于两个单一变量的高斯分布的 $p$ 和 $q$ 而言，它们的 KL 散度为：

K
L
(
p
,
q
)
=
l
o
g
σ
2
σ
1
+
σ
1
2
+
(
μ
1
−
μ
2
)
2
2
σ
2
2
−
1
2
KL(p, q)=log\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}+\frac{\sigma_{1}^{2}+(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}-\frac{1}{2}
KL(p,q)=logσ1​σ2​​+2σ22​σ12​+(μ1​−μ2​)2​−21​

3. 参数重整化

若希望从高斯分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N(\mu, \sigma^{2})
N(μ,σ2) 中采样，可以先从标准分布 $N(0,1)$ 采样出 $z$，再得到 $\sigma \ast z+\mu$，这就是我们想要的采样结果。这样做的好处是将随机性转移到了 $z$ 这个常量上，而 $\sigma$ 和 $\mu$ 则当作仿射变换网络的一部分。

模型介绍

1. 模型总览

图2 DDPM 是经过训练以逐渐去除噪声数据的参数化马尔可夫链。我们估计生成过程的参数。

DDPM 主要分为两个过程：

• forward 加噪过程（从右往左）
• reverse 去噪过程（从左往右）

加噪过程是指向数据集中的真实图像逐步加入高斯噪声，而去噪过程是指对加了噪声的图片逐步去噪，从而还原出真实图像。加噪过程满足一定的数学规律，不需要学习，而去噪过程则采用神经网络模型来学习。这样一来，神经网络模型就可以从一堆杂乱无章的噪声图片中生成真实图片了。

2. 扩散过程

• 逐步加噪

给定初始数据分布
x
∼
q
(
x
)
x_{0} \sim q(x)
x0​∼q(x)，我们定义一个前向扩散过程（forward diffusion process）：我们向数据分布中逐步添加高斯噪声，加噪过程持续 $T$ 次，产生一系列带噪声的图片
x
1
,
.
.
.
,
x
T
x_{1},...,x_{T}
x1​,...,xT​。在由
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1​ 加噪至
x
t
x_{t}
xt​ 的过程中，噪声的标准差/方差是以一个在区间 $(0,1)$ 内的固定值
β
T
\beta_{T}
βT​ 来确定的，均值是以固定值
β
T
\beta_{T}
βT​ 和当前时刻的图片数据
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1​ 来确定的。以上描述的加噪过程可以写成公式：

q
(
x
1
:
T
∣
x
)
:
=
∏
t
=
1
T
q
(
x
t
∣
x
t
−
1
)
,
q
(
x
t
∣
x
t
−
1
)
:
=
N
(
x
t
;
1
−
β
t
x
t
−
1
,
β
t
I
)
q(x_{1:T|x_{0}}):=\prod_{t=1}^{T}q(x_{t}|x_{t-1}), \quad q(x_{t}|x_{t-1}) := \mathcal N(x_{t};\sqrt{1-\beta_{t}}x_{t-1},\beta_{t}\mathbf{I})
q(x1:T∣x0​​):=t=1∏T​q(xt​∣xt−1​),q(xt​∣xt−1​):=N(xt​;1−βt​​xt−1​,βt​I)

上式的意思是：由
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1​得到
x
t
x_{t}
xt​的过程，满足分布
N
(
x
t
;
1
−
β
t
x
t
−
1
,
β
t
I
)
\mathcal N(x_{t};\sqrt{1-\beta_{t}}x_{t-1}, \beta_{t}\mathbf{I})
N(xt​;1−βt​​xt−1​,βt​I)，因此噪声只由
β
T
\beta_{T}
βT​和
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1​来确定，是一个固定值而不是一个可学习的过程。因此，只要有了
x
x_{0}
x0​，并且提前确定每一步的固定值
β
1
,
.
.
.
,
β
T
\beta_{1},...,\beta_{T}
β1​,...,βT​，我们就可以推出任意一部的加噪数据
x
1
,
.
.
.
,
x
T
x_{1},...,x_{T}
x1​,...,xT​。值得注意的是，这里的加噪过程是一个马尔科夫链过程，即当前状态的概率只与上一时刻有关。

• 加噪结果

随着 $t$ 的不断增大，最终原始数据
x
x_{0}
x0​ 会逐步失去它的特征。最终当 $T\to \infty$时，
x
T
x_{T}
xT​趋近于一个各向同性的高斯分布。从视觉上看，就是将原本一张完好的照片加噪很多步后，图片几乎变成了一张完全时噪声的图片。

• 任意时刻
  x
  t
  x_{t}
  xt​的计算

逐步加噪过程中，我们其实并不需要一步步地从
x
,
x
1
,
.
.
.
x_{0},x_{1},...
x0​,x1​,... 去迭代得到
x
t
x_{t}
xt​。事实上，我们可以直接从
x
x_{0}
x0​ 和固定值序列
{
β
T
∈
(
,
1
)
}
t
=
1
T
\{ \beta_{T}∈(0, 1)\}_{t=1}^{T}
{βT​∈(0,1)}t=1T​直接计算得到：

q
(
x
t
∣
x
)
=
N
(
x
t
;
α
t
‾
x
,
(
1
−
α
t
‾
)
I
)
q(x_{t}|x_{0}) = \mathcal N(x_{t};\sqrt{\overline{\alpha_{t}}}x_{0}, (1-\overline{\alpha_{t}})\mathbf{I}) \\
q(xt​∣x0​)=N(xt​;αt​​​x0​,(1−αt​​)I)

上式中，
α
t
=
1
−
β
t
\alpha_{t}=1-\beta_{t}
αt​=1−βt​，
α
t
‾
=
∏
i
=
1
T
α
i
\overline{\alpha_{t}}=\prod_{i=1}^T\alpha_{i}
αt​​=∏i=1T​αi​，中间推导过程不再罗列。

3. 逆扩散过程

如果我们能够将上述过程转换方法，即从
q
(
x
t
−
1
∣
x
t
)
q(x_{t-1}|x_{t})
q(xt−1​∣xt​)中采样，那么我们就可以从一个随机的高斯分布$\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$中重建出一个真实的原始样本，也就是从一个完全杂乱无章的噪声图片中得到一张真实图片。但是，由于需要从完整数据集中找到数据分布，我们没办法简单地预测
q
(
x
t
−
1
∣
x
t
)
q(x_{t-1}|x_{t})
q(xt−1​∣xt​)，因此需要学习一个模型
p
θ
p_{\theta}
pθ​来近似模拟这个条件概率，从而运行逆扩散过程。

p
θ
(
x
:
T
)
:
=
p
(
x
T
)
∏
t
=
1
T
p
θ
(
x
t
−
1
∣
x
t
)
,
p
θ
(
x
t
−
1
∣
x
t
)
:
=
N
(
x
t
−
1
;
μ
θ
(
x
t
,
t
)
,
∑
θ
(
x
t
,
t
)
)
p_{\theta}(x_{0:T}):=p(x_{T})\prod_{t=1}^{T}p_{\theta}(x_{t-1}|x_{t}), \quad p_{\theta}(x_{t-1}|x_{t}):=\mathcal N(x_{t-1};\mu_{\theta(x_{t},t),\sum_{\theta}(x_{t},t)})
pθ​(x0:T​):=p(xT​)t=1∏T​pθ​(xt−1​∣xt​),pθ​(xt−1​∣xt​):=N(xt−1​;μθ(xt​,t),∑θ​(xt​,t)​)

要点分析

正向的扩散过程：

• 扩散过程时逐步加噪的过程
• 扩散过程符合马尔科夫假设
• 每一步的噪声都是高斯噪声
• 加噪是用方差参数来控制的（预定义的超参数）
• 正向扩散过程属于无参模型（不需要进行学习）
• 该过程支持在任意步长采样（方便后续的训练）

逆向的扩散过程：

• 从高斯噪声中采样，学习一个模型估计真实的条件概率分布（从上一状态到下一状态的条件概率模型）
• 也可以直接计算任意状态的分布，因此可以直接采样，然后和真实图像计算均方误差
• 用一个 U-Net 结构来对 $t$ 时刻的噪声进行预测
• 逆过程的均值需要模型预测（有参），但方差采用了常数项（无参，当然有工作将其改进成有参也同样 work）

伪代码

相关论文

参考

• DDPM解读（一）| 数学基础，扩散与逆扩散过程和训练推理方法
• diffusion model最近在图像生成领域大红大紫，如何看待它的风头开始超过GAN？
• 基于扩散模型的文本引导图像生成算法
• 生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼
• 生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE
• Diffusion Model一发力，GAN就过时了？